Лекции

Лекции

Пенской А.В. "Классическая дифференциальная геометрия. Лекции"

1. Веедение

	Лекция 1. Введение. 1 час 34 минуты
00:00:19 Тема лекции 00:00:31 Классическая дифференциальная геометрия 00:02:09 Понятие кривой. Параметрическое описание кривой 00:11:36 Производные 00:13:04 Первое строгое определение кривой 00:21:56 Перепараметризация кривой 00:26:50 Ориентация параметризованной кривой 00:28:40 Классы эквивалентности параметризованных кривых 00:31:20 Обозначения отображений 00:49:07 Кривизна кривой. Определение натурального параметра 01:03:35 Единственность натурального параметра 01:08:25 Определение кривизны кривой в случае натуральной и произвольной параметризации 01:13:05 Случай плоских кривых. Лемма. Базис Френе 01:20:28 Вывод формулы Френе. Утверждение о кривизне
Довольно подробно рассказывает о подводных камнях для параметризации/репараметризации, в явном виде проговаривает в чем отличие \( f(x,y) \) от \( f(r, \varphi) \) Кривизна для кривой в натуральной параметризации \( k(s) = \left\| \frac {d^2 \vec{r}(s)} {ds^2} \right\| \) Кривизна для кривой в произвольной параметризации \( k(t) = \frac{\lVert \dot{\vec r}(t) \times \ddot{\vec r}(t) \rVert}{\lVert \dot{\vec r}(t) \rVert^3} \) Формулы Френе в натуральном параметре для \( \mathbb{R}^2 \): \( \begin{cases} \frac{d\vec{v}(s)}{ds} = k(s)\,\vec{n}(s),\\ \frac{d\vec{n}(s)}{ds} = -k(s)\,\vec{v}(s) \end{cases} \) Альтернативное определение в плосокм случае: кривизна - это угловая скорость вращения касательной к кривой: \( k(s) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\alpha(s,\varepsilon)}{\varepsilon} \)

2. Кривые в трехмерной области

	Лекция 2. Кривые в трехмерной области. 1 час 26 минут
00:00:19 Тема лекции. Обобщение предыдущих тем 00:13:47 Формулы Френе для трехмерного случая 00:24:29 Замечания к формулам Френе 00:29:10 Важность и независимость кривизны и кручения 00:44:44 Матрица Грама 00:57:11 Замечания. Натуральное уравнение кривой 01:00:35 Случай многомерной размерности 01:11:49 Следствие симметричности 01:21:51 Формула для расчета кривизны и высшего кручения в произвольном случае при ненатуральном параметре
Кручение в случае \( \mathbb{R}^3 \) для натуральной параметризации: \( \varkappa(s) = \langle \dot{n}(s), b(s) \rangle \) В случае произвольного параметра \( \varkappa(t) = \frac{(\dot r(t),\, \ddot r(t),\, \dddot r(t))} {\lvert[\dot r(t)\times \ddot r(t)]\rvert^2} \) Фoрмулы Френе в трехмерном случае \( \begin{cases} \dot{v}(s) = k(s)\,n(s)\\ \dot{n}(s) = -k(s)\,v(s) + \varkappa(s)\,b(s)\\ \dot{b}(s) = -\varkappa(s)\,n(s) \end{cases} \) В произвольном n-мерном случае \( \langle a_1,\dots,a_k\rangle \) — это \(k\)-мерный объём параллелепипеда, порождённого \(a_1,\dots,a_k\). При \(k=n\) — это ориентированный \(n\)-мерный объём \( V_i = \langle \dot r(t),\dots,r^{(i)}(t)\rangle \) \( k = \frac{V_2}{V_1^3} \) \( \varkappa_{i} = \frac{V_{i+2}\,V_i}{V_{i+1}^2\,V_1} \) Рассказал довольно хорошо, но остались неясные моменты - в самой лекции непонятно, для чего ему нужны была матрица Грамма, и, главное, ведь все формулы не должны, в конце концов, зависить от параметризаций. Конечно, он показал независимость, перейдя от натурального параметра к произвольному, но получается интересно - ведь от координат не должно ничего зависить, а мы их вводим для того, чтобы показать, что от них нет зависисмости - что наталкивает на предположение о необходимости другого, более универсального, языка. Ну и эти первые две лекции можно было бы рассказывать на механике для первого курса

3. Поверхности

	Лекция 3. Поверхности. 1 час 13 минут
00:00:19 Тема лекции 00:00:38 Параметрически заданные поверхности. Одномерный случай 00:05:13 Условие регулярности 00:09:20 Переход от неявно заданной поверхности к гладкой регулярной параметризованной поверхности 00:10:17 Определение неявно заданной поверхности в \( R^3 \) 00:13:08 Описание гладкой неявно заданной поверхности, как гладкой регулярной параметризованной поверхности 00:20:12 Случай сферы 00:25:12 Многомерный случай 00:29:40 Определение гладкой неявно заданной k-мерной поверхности в n-мерном пространстве. Упражнение 00:35:31 Терминология 00:39:32 Кривые на поверхности 00:48:24 Утверждение об эквивалентности описаний кривых 00:57:00 Касательные векторы 01:06:25 Касательная плоскость
Важное утверждение, которое в других местах, которые я видел, как-то смазаны: Вектор скорости в т.А любой кривой, лежащей на поверхности, лежит в плоскости, порожденной \( r_{u}(u_0, v_0) \) и \( r_{v}(u_0, v_0) \). Эта плоскость называется касательной плоскостью. И наоборот, любой вектор из этой плоскости - это вектор скорости некоторой кривой Поэтому по определению касательная плоскость к поверхности \( \Sigma \) в точке \( A \): \( T_A\Sigma = \operatorname{span}\bigl(r_u(A),\, r_v(A)\bigr) \) И справедливо утверждение \( T_A\Sigma = \) состоит в точности из векторов скорости кривых, лежащих на поверхности И в общем случае k-мерного пространства \( T_A\Sigma = \operatorname{span}\bigl(r_{u^(1)}(A),\,..., r_{u^(k)}(A)\bigr) \)

4. Параметризация поверхностей

	Лекция 4. Перепараметризация поверхностей. 1 час 10 минут
00:00:19 Тема лекции 00:00:50 Случай двумерных поверхностей в трехмерном пространстве. Перепараметризация поверхностей 00:05:10 Утверждение о гладкой регулярной параметризованной поверхности 00:09:58 Выбор локальных координат 00:15:18 Случай аффинного евклидова пространства 00:21:25 Маломерный случай 00:36:31 Площадь поверхности 00:39:20 Традиционная форма записи первой квадратичной формы с помощью дифференциалов 00:44:44 Вторая квадратичная форма. Идея Эйлера 01:03:37 Случай произвольного параметра. Перепараметризация
Касательная плоскость (касательное пространство) не зависит от выбора локальных координат (т.е. параметризации) Пусть r - отображение \(r: (U \subset \mathbb{R}^k) \to \mathbb{R}^n\), т.е.у нас есть \( \Sigma = r(u) \) - образ множества точек. И для любой точки A касательная плоскость - это плоскость \( T_{A}\Sigma \subset \mathbb{R}^n \) А теперь рассмотрим особо важный случай, когда у нас есть не просто какая-то поверхность в аффинном n-мерном пространстве, а когда у нас это пространство еще и евклидово, т.е. в нем задано скалярное произведение. И когда мы отождествляем наше евклидово пространство с \( \mathbb{R}^n \), мы его обычно отождествляем с помощью выбора репера, и для этого обычно берем прямоугольную декартову систему координат, поэтому можно считать, что \( (a, b) = a^1b^1 + ... + a^nb^n \) И теперь можно ограничить это скалярное произведение на \( T_{A}\Sigma \). Т.е. \( (,)|_{T_{A}\Sigma} \) - и такое ограничение называется первой квадратичной формой I. Это терминология классической дифференциальной геометрии 19-го века, а современное название - метрика или риманова метрика \( g \) Поскольку билинейная форма - это оператор, то в определеном базисе у него будем матрица, естественно, зависящая от выбора этого базиса. Т.е., если есть векторное пространство \( V \), и в нем есть базис \( e_1, ..., e_k\), и есть билинейная форма \( \Psi \), то тогда можно написать матрицу \( \Phi \) - т.е. это матрица билинейной форму \( \Psi \) в базисе \( e_1, ..., e_k \), которая устроена так: \( \Phi_{ij} = \Psi(e_i, e_j) \) И как найти значение билинейной формы \( \Psi \) на векторах \( a \) и \( b \)? Это будет \( \Psi(a, b) = (a^1 \ldots a^k) (\Phi_{ij}) \begin{pmatrix} b^1 \\ \vdots \\ b^k \end{pmatrix} \) Пусть есть поверхность \( \Sigma \), точка \( A \) на ней, касательная плоскость \( T_{A}\Sigma \), и в ней базис \( r_u(A), r_v(A) \). Тогда у I-ой квадратичной формы должна быть матрица \[ \begin{pmatrix} (r_u, r_u) & (r_u, r_v) \\ (r_v, r_u) & (r_v, r_v) \end{pmatrix} \] У матричных элементов есть свои обозначения. Более современные: \[ g_{11} = (r_u, r_u),\quad g_{12} = g_{21} = (r_u, r_v) = (r_v, r_u),\quad g_{22} = (r_v, r_v) \] А есть более древние, с 18-го века: \[ E = (r_u, r_u),\quad F = (r_u, r_v) = (r_v, r_u),\quad G = (r_v, r_v) \] Нужно помнить, что в общем случае базис зависит от точки, т.е. \(E,\, F,\, G\) тоже зависят от точки Рассмотрим вектора \(a, b\) в базисе \( r_u, r_v \). Эти вектора в таком базисе запишутся как \( a = a^1 r_u + a^2 r_v,\quad b = b^1 r_u + b^2 r_v \). Тогда их скалярное произведение \[ (a, b) = I(a, b) = (a^1 a^2) \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b^1 \\ b^2 \end{pmatrix} \] Тогда, например, \[ |a| = \sqrt{(a, a)} = \sqrt{(a^1 a^2) \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a^1 \\ a^2 \end{pmatrix}} \] \[ \cos\alpha = \frac{(a, b)}{|a||b|} = \frac{(a^1 a^2) \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b^1 \\ b^2 \end{pmatrix} }{\sqrt{(a^1 a^2) \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a^1 \\ a^2 \end{pmatrix}}\sqrt{(b^1 b^2) \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b^1 \\ b^2 \end{pmatrix}}} \] Длина кривой \[ \ell = \int_{t_0}^{t_1} |\dot r|\, dt \] поскольку \( \dot r = r_u \dot u + r_v \dot v \), то есть \( \dot r \) в базисе \( r_u, r_v \) имеет координаты \( (\dot u, \dot v) \), то это можно записать в двух эквивалентных формах: \[ \ell = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{(\dot u, \dot v) \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot u \\ \dot v \end{pmatrix} } \, dt \] \[ \ell = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{\dot x(t)^2 + \dot y(t)^2 + \dot z(t)^2} \, dt \] - это формула для той же длины, но в объемлющих координатах глобального евклидова прстранства Для площади \[ S(\Sigma) = \iint_U \sqrt{EG - F^2}\, du \wedge dv \] Причем, можно заметить, что, условно говоря, \( det{I} = EG - F^2 \). Лектор отказался углубляться в дифференциальные формы Дифференциал функции - это ковектор, в курсе дифференциальной геометрии это подробно обсуждается. Нынешний курс - это курс классической дифференциальной геометрии). Коротко - дифференциал - это линейная функция на векторах или на приращениях, как говорят в анализе. Кажется, он сознательно не хочет углубляться в тему \[ df = \frac{\partial f}{\partial u}\, du + \frac{\partial f}{\partial v}\, dv \] \[ df(a) = \frac{\partial f}{\partial u}\, a^1 + \frac{\partial f}{\partial v}\, a^2 = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial u} & \frac{\partial f}{\partial v} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a^1 \\ a^2 \end{pmatrix} \] И тогда \[ du(a) = a^1,\, dv(a) = a^2 \] И \[ I(a, a) = ... = (Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2) (a) \] т.е. условно \[ I = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2 \] - такая вот старомодная запись I-ой квадратичной формы через дифференциалы. Выглядит слегка не очень последовательно и как нагромождение формул, но лектор, опять же, не хочет вникать в подробности