Семинары

	Пенской А.В. "Классическая дифференциальная геометрия. Семинары"
	1. Кривизна. 38 минут
00:00:19 Кривизна прямой и окружности 00:10:02 Кривизна кривой для произвольного параметра 00:22:18 Задача. Кривизна параболы и эллипса 00:31:29 Упражнение
Кривизна прямой: \( k(s) = 0 \) Кривизна окружности радиуса R: \( k(s) = \left\| \frac {d^2 \vec{r}(s)} {ds^2} \right\| = \frac {1} {R} \) Кривизна параболы \( y = x ^ 2 \): \( k(y) = \frac {2} { (1 + 4 y) ^ { \frac {3} {2}}} \) Кривизна эллипса \( x = a \cos(t),\space y = b \sin(t) \): \( k(t)=\frac{ab}{(a^2\sin^2 t+b^2\cos^2 t)^{3/2}} \) Заканчивается задачей о соприкасающейся окружности, т.е. поскольку через три точки можно провести окружность, то для каждой точки кривой можно попытаться построить такую окружность. Т.е. здесь кривизна определяется геометрически. Нужно бы задачу решить. Есть лисвязь с проективной геометрией? Конечно, должна быть связь с кривизной в терминах более общей теории
	2. Кручение. 1 час 02 минуты
0:00:19 Кручение при произвольном выборе параметра 00:13:34 Кривизна и кручение винтовой линии 00:27:08 Натуральные уравнения кривой 00:33:39 Задача 1 00:48:42 Задача 2
Кривизна и кручение винтовой линии \( r(t) = (R\cos(t), R\sin(t), ht) \): \( k = \frac {R} {R^2 + h^2} \) \( \varkappa = \frac {h} {R^2 + h^2} \) Если для некоторой кривой, лежащей на сфере радиуса R, ее кривизна и кручение ненулевые, то: \( R^2 = \frac {1} {k^2} (1 + \frac {(\dot k)^2} {(\varkappa k)^2}) \) Обратное утверждение тоже верно, если \( \dot k\) ненулевое. Для доказательство можно использовать базис Френе Если кривизна нулевая, то это прямая, если кручение нулевое, то кривая плоская, если кривая лежит на сфере и имеет постоянную кривизну, то это окружность
	3. Основыне поверхности. 50 минут
0:00:19 Двумерная сфера 0:16:06 Стереографическая проекция 0:30:38 Тор вращения
Рассмотрел двумерную сферу, заданную в неявном виде, в виде двух немного разных параметрических параметризаций (гладких и регулярных), нашел касательную плоскость; также рассмотрел стереографическую проекцию сферы на плоскость (немного не ту, к которой я привык), обратную параметризацию и касательную плоскость для нее (тоже гладкую и регулярную). И сделал то же самое для тора в параметризации через углы и в неявном виде
	4. Первая и вторая квадратичные формы. 42 минуты
0:00:19 Сфера 0:17:42 Тор 0:30:11 Поверхность вращения
...