Медведев
|
Медведев М.О. "Геометрия 1", осень 2024 | |
|
|
Анонс. 2 минуты |
00:00 Что такое геометрия? 00:08 Различные геометрии - евклидова, сферическая, неевклидовы (гиперболическая и эллиптическая), проективная 01:03 Геометрии в смысле Клейна 01:25 Кэли: "Проективная геометрия - это вся геометрия" |
|
Лекция 1. Введение. 1 час 55 минут |
00:00:00 Организационные вопросы 00:09:45 Литература 00:11:35 Тизер о геометриях и геометрии в смысле Клейна 00:14:20 Евклидовы и метрические пространства 00:24:00 Топология 00:26:45 Изометрия 00:31:00 Группы преобразований 00:45:30 Биекции как группы, действие группы на множестве 00:53:20 Геометрии в смысле Клейна 00:58:00 Краткое резюме, инварианты, конгруэнтность, изометрии, интересные группы 01:02:10 Орбита и стабилизатор 01:10:10 Примеры геометрий в смысле Клейна 01:16:50 Гомоморфизм, инъективный гомоморфизм (мономорфизм), сюръективный гомоморфизм (эпиморфизм), биективный гомоморфизм (изоморфизм) 01:21:15 Коммутативная и некоммутативная группа 01:22:15 Фундаментальная область 01:31:28 Геометрия куба 01:37:05 Калейдоскопы, геометрии Федорова. Группы симметрий сферы \( \mathbb{S}^2 \) 01:41:40 Модель гиперболической плоскости - модель Пуанкаре в круге 01:43:50 Проективная геометрия 01:44:40 Морфизмы геометрий. Коммутативные диаграммы 01:49:30 Вложение, наложение, изоморфизм геометрий |
|
Лекция 2. Конечные геометрии. 1 час 44 минуты |
00:00:00 Определение конечных геометрий 00:01:12 Пример конечных геометрий - правильный многоугольник 00:07:50 Правильные многогранники или платоновы тела 00:17:22 Определение выпуклого множества 00:19:45 Определение выпуклой оболочки 00:22:45 Определение выпуклого многогранника 00:26:20 Определение правильного многогранника 00:35:40 Тетраэдр 00:38:03 Символ Шлефли и Эйлерова характеристика 00:40:00 Куб 00:41:30 Октаэдр 00:43:18 Двойственность между кубом и октаэдром и самодвойственность тетраэдра 00:55:50 Додекаэдр и икосаэдр, их двойственность 00:58:40 Диаграммы Шлегеля 01:05:58 Теорема о 5ти платоновых телах 01:23:37 Существование платоновых тел 01:32:00 Алгебраическое доказательство теоремы о платоновых телах 01:32:40 Моноэдральная группа и группа диэдра 01:35:20 Группа симметрий сферы \( \mathbb{S}^2 O(3) \) и ее конечные подгруппы |
|
Лекция 3. Многомерные геометрии. 1 час 49 минут |
00:00:00 Определение правильного многогранника в размерности выше 3 00:14:50 Классификация правильных многогранников в размерностях выше 3 00:17:25 6 правильных многогранников в \( \mathbb{E}^4 \). Их символы Шлефли и диаграммы Шлегеля 00:35:10 Ситуация в пятимерии и выше 00:46:10 Транзитивное действие группы 00:49:20 Бесконечные группы 00:51:00 Дискретные геометрии. Геометрии Кокстера (калейдоскопы) 00:54:35 Многоугольник Кокстера 01:06:05 Группа, порожденная элементами 01:08:05 Определение геометрии Кокстера 01:18:45 Многогранники Кокстера и трехмерные геометрии Кокстера 01:38:30 Схемы Кокстера |
|
Лекция 4. Замощения. 1 час 49 минут |
00:00:00 Вступление 00:01:27 Ориентация 00:05:20 Изометрии плоскости 00:13:00 Векторные пространства и линейные отображения 00:17:30 Всякая изометрия \( \mathbb{E}^n \) - линейное отображение 00:23:22 Теорема: всякая изометрия \( \mathbb{E}^2 \) - это либо вращение, либо параллельные переносы, либо скользящая симметрия (композиция отображения и параллельного переноса) 00:27:20 Изометрии собственные (движения) и несобственные 00:33:30 Доказательство теоремы 00:41:45 Всякая изометрия \( \mathbb{E}^2 \) есть композицией вращения, параллельного переноса и отражения. \( Isom \mathbb{E}^2 \) порождена отражением относительно прямых 00:45:30 Замощения или паркеты 00:45:45 Определение плитки 00:47:48 Определение замощения 00:49:06 Напоминание о геометрии Кокстера 00:54:04 Классификация замощений с помощью перебора комбинаций переносов и поворотов - 12 01:23:45 Трехмерные замощения (геометрии Федорова (кристаллограыические группы) - 230) 01:27:40 Геометрия сферы \( \mathbb{S}^2 \) 01:28:23 "Прямые" на сфере 01:44:05 Полюса прямых и поляры точек |
|
Лекция 5. Сферическая геометрия (продоолжение). 1 час 46 минут |
00:00:00 Напоминания с предыдущей лекции 00:10:45 Большие окружности, дуги и окружности на сфере 00:26:25 Группа изометрий сферы 00:33:45 Ортогональные группы \( O(3) \) и \( O(n) \) 00:41:40 Сферические треугольники 00:45:15 Двуугольник 00:47:03 Площадь фигур 01:02:30 Площадь сферического треугольника 01:11:50 Теоремы косинусов и синусов на сфере 01:30:50 Сферическая теорема Пифагора 01:41:15 Треугольники и геометрии Кокстера на сфере |
|
Лекция 6. 1 час 46 минут |
00:00:00 Треугольники Кокстера на сфере 00:09:45 Мотивация аксиом эллиптической геометрии и сами аксиомы. Их модели 00:15:00 Эллиптическая геометрия (геометрия Римана - не риманова геометрия) - \( \mathbb{S}^2 / Ant : O(3) \) 00:22:10 Модель эллиптической геометрии с антиподальным отождествлением 00:23:40 Фоменко, Фукс "Курс гомотопической топологии" 00:26:00 Модель эллиптической геометрии на верхней полусфере \( {\mathbb{S}^2}_{+} / Ant : O(3) \) 00:29:43 Эллиптическая геометрия локально изоморфна сферической геометрии 00:40:20 Сферические пространства и эллиптические геометрии 00:45:50 Инверсии 00:58:20 Сфера Римана 01:03:00 Стереографические проекции сферических окружностей на плоскость 01:11:10 Свойства инверсии 01:23:00 Дополнительные свойства инверсии |
|
Лекция 7. Гиперболическая геометрия. 1 час 52 минуты |
00:00:00 Модель Пуанкаре в круге (плоскости Лобачевского, гиперболическая плоскость) 00:02:25 Абсолют 00:02:50 Понятие прямой 00:05:00 Отражения 00:06:10 Действующая группа 00:07:18 Геометрия в смысле Клейна \( \mathbb{D}^2:M \) 00:09:10 Следствия определения геометрии 00:15:25 Исторические замечания. Колесников "ЖЗЛ. Лобачевский" 00:25:35 Треугольники 00:47:25 Модель - это любая геометрия в смысле Клейна, в которой реализуется тот или иной набор аксиом 00:55:23 Углы и повороты 01:00:04 Окружности 01:08:34 Модель Пуанкаре на верхней полуплоскости 01:09:15 Дробно-линейные отображения и группа \( {PGL}_{2}(C) \) 01:15:15 Двойное отношение четырех точек и их свойства 01:26:48 Примеры дробно-линейных преобразований 01:44:01 Модель Пуанкаре на верхней полуплоскости \( (C_{+}:M^{+}) \) |
|
Лекция 8. Гиперболическая геометрия (продолжение). 1 час 39 минут |
00:00:00 Напоминания с предыдущей лекции 00:05:40 Эквивалентность моделей Пуанкаре в круге и на верхней полуплоскости 00:15:23 Метрика для модели на верхней полуплоскости 00:29:10 Гиперболические функции 00:34:25 Теоремы косинусов и синусов для модели на верхней полуплоскости 00:44:00 Геометрия шестиугольников плоскости Лобачевского 00:48:16 Пространство Тейхмюллера 00:51:40 Модель Кэли-Клейна (Cayley-Klein) 01:04:00 Абсолютная константа. Формула Швейкарта 01:18:54 Изоморфность модели Кэли-Клейна другим моделям гиперболической геометрии 01:19:20 Модель в нижней полусфере \( \mathbb{S}^2 \le 0 \) |
|
Лекция 9. Дополнительные модели гиперболической геометрии. 1 час 37 минут |
00:00:00 Анонс экзамена 00:02:15 Теорема Римана об отображениях 00:05:40 Модель в полосе 00:16:10 Модели пространства Лобачевского 00:21:14 Группа модели в полосе 00:26:10 Треугольники Кокстера на \( \mathbb{H}^2 \) 00:32:10 Модель на гиперболоиде 00:32:35 Пространство Минковского \( \mathbb{M}^{1,2} \) 00:42:40 Пространство Лобачевского как сфера мнимого радиуса 00:48:30 Прямые в модели на гиперболоиде 00:53:08 Группы O(1, 2) и SO(1, 2) и ортохронная SO(1, 2) 01:05:20 Изоморфизм модели на гиперболоиде и модели Кэли-Клейна 01:12:08 Модель Ганса (гиперболическая модель на всей плоскости) 01:21:35 Вязаные поверхности и геометрия Лобачевского в природе 01:30:33 Сдвиги в модели Кэли-Клейна 01:36:20 Анонс проективной геометрии |
|
Лекция 10. Проективная геометрия. 1 час 43 минуты |
00:00:00 Бессмысленное вступление 00:01:05 Три классические теоремы проективной геометрии 00:01:20 Теорема Паппа (4ый век нашей эры) 00:03:25 Теорема Паскаля 00:06:25 Теорема Дезарга 00:10:15 Дезарг и проективная геометрия 00:25:30 Конические сечения и их проекции 00:33:35 Проецирование конических сечений 00:42:00 Модель \( \mathbb{RP}^2 \) на плоскости 00:54:40 Однородные координаты точки на \( \mathbb{RP}^2 \) 01:03:17 Модель \( \mathbb{RP}^2 \) на сфере 01:04:20 Геометрии \( \mathbb{RP}^2 \) и \( {Ell}^2 \) 01:05:30 Классификации кривых второго порядка 01:16:45 Модель проективной плоскости \( \mathbb{DRP}^2 \) и проективная двойственность 01:32:55 Определение общего положения 01:35:00 Теорема о проективном преобразовании точек общего положения и доказательства теоремм Паппа и Паскаля как следствия из нее |
|
Лекция 11. Проективная геометрия (продолджение). 1 час 57 минут |
00:00:00 Отступление 00:01:58 Напоминание предыдущей лекции 00:06:49 Обобщение моделей проективной плоскости на высшие размерности и проективная двойственность в них 00:13:35 Грассманова геометрия 00:16:57 Понятие однородного пространства 00:19:30 Теорема Мёбиуса - фон Штаудта 00:23:33 Изоморфизм двойственности грассманианов 00:25:48 Аналоги однородных координат на грассманиане 00:27:53 Доказательство теоремы о проективном преобразовании точек общего положения для \( \mathbb{RP}^2 \) 00:45:45 Доказательство теоремы Дезарга 01:05:13 Трехмерный аналог теоремы Дезарга - теорема Понселе 01:05:43 Историческое отступление о Понселе 01:07:30 1ая теорема Понселе 01:11:20 2ая теорема Понселе 01:16:15 Инвариантность двойного отношения четырех коллинеарных точек на \( \mathbb{RP}^2 \) 01:26:35 "Проективная геометрия - это вся геометрия" 01:28:42 Плоская геометрия как проективная геометрия 01:37:00 Сферическая геометрия как проективная геометрия 01:45:58 Геометрия Лобачевского как проективная геометрия 01:54:28 Анонс геометрий Галуа и кривизны |
|
Лекция 12. Геометрия Галуа. Кривизна. 2 часы 5 минут |
00:00:00 План лекции 00:02:35 Пример геометрии Галуа 00:17:40 Дезарговость 00:19:58 Кривизна 00:48:45 Формулы Френе 01:01:57 Ситуация в трехмерии 01:07:03 Формулы Френе в \( \mathbb{E}^3 \) 01:09:42 Кручение 01:10:40 Кривизна поверхности 01:13:45 Нормальная и геодезическая кривизна 01:21:48 Пример на сфере 01:25:23 Определение геодезической 01:27:45 Пример с цилиндром 01:29:50 Определение главных кривизн 01:32:00 Формула Эйлера 01:38:20 Гауссова и средняя кривизна 01:48:10 Теорема Топоногова 01:54:55 Сравнительная геометрия Громова 02:01:00 Теорема Гаусса-Боне |