Геометрия классической механики

Геометрическая механика

• есть пространство состояний S
• есть эволюция \( \Phi_t \) - это отображание, которое переводит точки множества S в другие очки множества S (тюе. описывает разворачивающуюся динамику), в частности, переводит некоторое состояние в другое на шаге t Схематически для системы из нескольких состояний это можно проиллюстировать такой схемой
  
  Здесь в момент времени \( t_0 \) задано состояние \( s_0 \), которое в момент времени \( t_1 \) переходит в состояние \( s_7 \), а затем, в момент времени \( t_2 \) - в состояние \( s_5 \)
  Если точки-состояния образуют непрерывные области, и эволюция тоже имеет свойства гладкого отображения, то схему можно видеть следующим образом
  
  Я часто буду то же самое показывать в эквивалентном виде
  
  Или даже, чтобы было больше похоже на поток жидкости, так
  

Тут я хочу сделать отступление о системах отсчета, заменах переменных, 1ом и 2ом законах Ньютона, поскльку тенб всего этого постоянно будет витать над нашими рассуждениями, и важно не дать ложным аналогиям пищи для роста, но правильные соображения нужно, наоборот, взращивать. Начнем с первого закона Ньютона. Он называет класс систем отсчета, в которых на тело действует общая нулевая сила, и которые при этом имеют a = 0, инерциальными. Т.е. вот рассмотрим обычную кауое-то двидение тела с нулевым ускорением в некоторой системе отсчета. Если сила, действующая на тело, нулевая (хотя пока непонятно как понять, что F = 0), то такая система отсчета будет принадлежать классу инерциальных систем. Можео было ьы сказать и наоборот - что инерциальные системы - это такие, в которых тело, нак котороеи едйствуют силы, двидется равномерно и прямолинейно т т.д. Но проблема в том, чтоЮ на самом деле, нам пока дорподлинно неизвестно, что такое равномерно и прямолинейно. У нас евклидова геометрия или лобачевского? Поэтому я пока предлагаю не останавливаться на этом вопросе, а зафиксировать, что здесь есть проблему, к которой мы вернемся позже. Такую ситуацию можно было бы описать уравнением a = 0. А дальше - перейем в другую систему отсчета. И если окажется, что и в ней a' = 0, то штрихованная система отсчета - тоже, согласно этому взгляду, принадлежит классу инерциальных систем. Давайте сразу ограничимся гладкими переходами к другим системам координат (А МОДНО ЛИ НЕ ОГРАНИЧИТВАТЬСЯ???). И нетрудно видеть, что при переходе к другой системе координат ускорение остается нулевым только в случае, если эти системы движутся относительно исходной равномерно и прямрлинейно. С точки зрения замены переменных это выглядит как t' = t, x' = Rx + vt + x0. ХОТЯ СТОИТ ОБСУДИТЬ t = t'. В любом случае, мы ужу понимаем что значит математически перед к другой системе координат. В рамках 1го закона Ньютона - этозамена переменных так, что t'=t, x'=x+vt. Кстати, комбинация любых двух ситем инерциальных систем кооринат дает новую инерциальную систему координат.

Теперь рассмотрим 2ой закон Ньютона. Начнем с похожего требования и рассмотрим такеи преобразования (или, что то же самое, переход к таким СК), в которых уравнение F = ma не меняет формы. Этот подход имеет право на существование и вполне может рассматриваться ка часть подхода, назовем его подходом Ли-Овсянникова-Оливера и т.д. У Ибрагимова, например, есть несколько учебников и монографий на эту тему. Но тут сразу понятно, что мы таким образом никак не сможем рассмотреть переход в неинерциальные системы координат. Например, в задаче движения твердого тела удобно перейти в неинерциальную СК, связанну с движением главных осей (что бы это сейчас ни значило), поскольку в этой СК уравнения Эйлера оказывается самыми простыми. А отсюда следует, что если мы таки хотим рассматривать все возможные гладкие преобразования, позволяющие переходить от описания динамики в одной системе коорлинат к другой, то дифференциального уравнения в школьном виде (F = ma), нам будеи недостаточно, и нужно искать другой язык, позволяющий оперировать чем-то более фундаментальным, чем конкретные координаты в конкретной системе координат. Ведь при переходе в, например, вращающуюся систему координат, возникают дополнительные члены, зависящие от системы отсчета. При этом "траектории" системы как физически значиныме сущности никак не модифицируются. Но нам еще предстоит выработать правильный язык как систему понятий для описания траекторий и т.п. Такой подход, если бы был найден, позволил бы описывать кинематику/динамику без привязывания к системе координат.

Анонс: во всяком случае для динамики твердого тела такой подход есть (геометрическая механика), и его введение - главная цель этой заметки.

Такой подход позволит считать, что "двидение" - это не формула в коорлинатах, а геомпетрический объект (мы пока о нем мало что знаем), у которого может быть много разных координатных представлений. Но сейчас мы должны понять, что допускается класс допустимых описаний - это все гладкие обратимые замены переменных (т.е переход в другие СК), сохраняющие структуру времени (НЕУЖЕЛИ НУЖНО ЭТО ЗАМЕЧАНИЕ???) и корректность динамики, и такое описание задает отношение эквивалентных описаний.

Теперь я хочу проиллюстрировать это на примере вначале экивалентных описаний дискретных систем, а затем и непрерывных. Начнем с дискретных. Причем подчеркиваю, что мы еще не рассматриваем ньютонову механику (или какую-нибудь другую), речь идет о том, чтобы найти подходящие координатно независимые объекты и построить соответствующую терминологию. Итак, рассмотрим систему из нескольких (здесь для примера 8) состояний и ее динамику. Состояние s0 на следующем шаге эволюции переходит в s7, затем s5. Но эти состояние можно переименовать с помощью любой перестановки, например, указанной на рисунке. Номера состояний изменились и запись динамики, соответственно, изменилась тоже, но лишь на уровне обозначений, ведь структура переходов осталась прежней, поскольку мы хотим иметь дело не с конкретными именами состояний, а именно со структурой отображения.
Здесь по существу ничего не изменилось, описание, однако, перестало быть прежним. А мы хотим абстрагироваться от такого рода изменений. Это и будет означать переход от конкретных описаний к семейству эквивалентных описаний. Это семейство отражает идею всех состояний, отличающихся лишь переимеованием. То есть назовем эттм семейством эквивалентных описаний набор \( \{ \sigma(s) | \sigma - перестановка множества состояний \} \). В непрерывном же случае, когда S - уже не конечное множество, аналогом перестановок становятся гладкие обратимые отображения \( S \rightarrow S \) (диффеоморфизмы). Они играют ту же роль переименований, но уже в непрерывной ситуации. Еще раз подчеркиваю, что здесь нет никаких эквивалентных состояний внутри S, речь идет об эквивалентных способах описания одного и того же множества состояний. Теперь, поскольку мы стремимся описать динамику не в какой-то определенной нумерации, а допуская любую перестановку, посмотрим, что из себя представляют все возможные способы перенумерации. Возьмем некоторое состояние s и найдем множесвто всех его переобозначений. Это будет \( O(s) = \{ \sigma(s) | \sigma \in Sym(S) \} \) Давайте для примера рассмотрим множество из трех состояний и все возможные уникальные перестановки

№	Перестановка	σ(s₀)	σ(s₁)	σ(s₂)
1	id	s₀	s₁	s₂
2	(s₀ s₁)	s₁	s₀	s₂
3	(s₀ s₂)	s₂	s₁	s₀
4	(s₁ s₂)	s₀	s₂	s₁
5	(s₀ s₁ s₂)	s₁	s₂	s₀
6	(s₀ s₂ s₁)	s₂	s₀	s₁

Видно, что в этом случае s0, например, может перейти в любое другое состояние (это же касается и оставшиххся двух состояний). Т.е. если динамика окажется такой, что все перемешивается, то этот прием нам не помодет. Но не будем забывать, что мы сейчас пытаемся найти язык для описания динамики систем, которые каким-то образом эволюционируют. Т.е. на самом деле система уже имеет какую-то динамику, а мы всего лишь пытаемся описать ее инвариантынм образом. Поэтому для примера рассмотрим систему, которая эволюционирует таким образом: s0->s1->s2->s0 Теперь выделим перенумерации, согласованные с токой динамикой системы